User:Joakmi/sandbox

• Några exempel på polynom:
  • $\ f(x)=2x^{2}+3x+1$
  • $\ g(x)=3x^{3}+2$

• För mängder gäller $A\subset B\Rightarrow A\subseteq B$, men det är självklart sant att $A\subset B\not \Leftarrow A\subseteq B$.

• En annan sanning är att $0\leq \alpha <3$ gör att $\alpha \in \{x\in \mathbb {R} :x\geq 0\}$.

• Man kan enkelt beräkna primitiven till f som

$\int f(x)dx={\frac {2}{3}}x^{3}+{\frac {3}{2}}x^{2}+x+C$

• För vilka x är f(x)=0? Lös

$x^{2}+{\frac {3}{2}}x+{\frac {1}{2}}=0$

En såhär enkel andragrads andragradsekvation kan lösas med pq-formeln och vi får

$x=-{\frac {3}{4}}\pm {\sqrt {{\frac {9}{16}}-{\frac {1}{2}}}}=-{\frac {3}{4}}\pm {\sqrt {\frac {1}{16}}}=-{\frac {3}{4}}\pm {\frac {1}{4}}$

eller

$x_{1}=-1,\ \ \ x_{2}-{\frac {1}{2}}$

• Eulerserien $\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{k^{2}}}$ kan summeras och man får

$\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{k^{2}}}={\frac {\pi ^{2}}{6}}$

• Gränsvärden kan skrivas som

$\lim _{x\to 0}{\frac {e^{x}-1}{x}}=1$

• Ett medelvärde:

$a_{0}={\frac {2}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }(t-\pi )^{2}dt={\frac {1}{\pi }}\left[{\frac {(t-\pi )^{3}}{3}}\right]_{0}^{2\pi }={\frac {2\pi ^{2}}{3}}$

• Lite vektorer och matriser:

${\hat {x}}={\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}}$

och

$A={\begin{pmatrix}1&1\\1&0\end{pmatrix}}$

ger

$A{\hat {x}}={\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}}$.

Man kan se att As egenvärden och egenvektorer är

$\left\{{\frac {1}{2}}\pm {\frac {\sqrt {5}}{2}}\right\},\ rest.\ \left\{{\begin{pmatrix}{\frac {\frac {1\pm {\sqrt {(}}5)}{2}}{\pm 1}}\end{pmatrix}}\right\}$.

Ett av egenvärdena är det Gyllende Snittet.

• En Fourierintegral:

$a_{n}={\frac {2}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }(t-\pi )^{2}\cos(nt)dt$

$={\frac {1}{\pi }}\left[(t-\pi )^{2}{\frac {\sin(nt)}{n}}\right]_{0}^{2\pi }-{\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{2\pi }2(t-\pi ){\frac {\sin(nt)}{n}}dt$

$=-{\frac {1}{\pi }}\left[2(t-\pi ){\frac {-\cos(nt)}{n^{2}}}\right]_{0}^{2\pi }+{\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{2\pi }2{\frac {-\cos(nt)}{n^{2}}}dt$

Failed to parse (syntax error): {\displaystyle =-\frac{1}{\pi} \left( 2(2\pi-\pi)\frac{-\cos(n2\pi)}{n^2} - 2(-\pi}\frac{-\cos(0)}{n^2} \right) }