Summary

Description01-Neunzehneck-Quadratrix.svg	Deutsch: Neunzehneck, exakte Konstruktion mithilfe der Quadratrix des Hippias als zusätzliches Hilfsmittel English: Enneadecagon, exact construction using the quadratrix according of Hippias as an additional aid
Date	28 October 2017
Source	Own work
Author	Petrus3743
SVG development InfoField	The SVG code is valid.   This trigonometry was created with GeoGebra by Petrus3743.   This SVG trigonometry uses the path text method.

Das regelmäßige Neunzehneck ist unter alleiniger Verwendung der klassischen Konstruktionsmittel Zirkel und Lineal nicht darstellbar. Nimmt man jedoch ein zusätzliches Hilfsmittel z. B. den Tomahawk archive copy at the Wayback Machine, die archimedische Spirale oder die Quadratrix des Hippias, ist eine exakte Lösung möglich. In der einschlägigen Literatur sind keine Näherungskonstruktionen hierfür zu finden.

Quadratrix des Hippias als zusätzliches Hilfsmittel

Die Konstruktion gleicht der des Elfecks.

Nach dem Zeichen des Quadrates z. B. mit der Seitenlänge ${\displaystyle 1}$ und der Konstruktion der speziellen Kurve, der sogenannten Quadratrix des Hippias, mit der Parameterkurve ${\displaystyle \gamma :(-\pi ,\pi )\rightarrow \mathbb {R} ^{2}}$:

${\displaystyle \gamma (t)={\begin{pmatrix}x(t)\\y(t)\end{pmatrix}}}$

mit

${\displaystyle {\begin{aligned}x(t)&={\begin{cases}t\cot \left({\frac {\pi }{2}}t\right)\,&,0\leq t\leq 1\end{cases}}\\y(t)&=t\end{aligned}}}$

wird die Strecke ${\displaystyle {\overline {CO}}}$ in neunzehn gleich lange Abschnitte mithilfe der Streckenteilung geteilt. Aus Gründen der Übersichtlichkeit sind in der Zeichnung nur die relevanten Punkte dargestellt.

Der Zentriwinkels des Neunzehnecks ergibt sich aus ${\displaystyle \mu ={\frac {360^{\circ }}{19}},}$ aber die Quadratrix des Hippias unterteilt nur die Winkel ab ${\displaystyle >0^{\circ }}$ bis ${\displaystyle \leq 90^{\circ }}$ in gleich große Winkel. Daraus folgt, ein Neunzehntel der Strecke ${\displaystyle {\overline {CO}}}$ kann nur ein Neunzehntel des Winkels ${\displaystyle 90^{\circ }}$ erzielen. Deshalb wird wegen der Berechnung des Zentriwinkels ${\displaystyle \mu }$ aus dem Umkreis mit seinen ${\displaystyle 360^{\circ },}$ das Vierfache eines Neunzehntels, d. h. der Teilungspunkt ${\displaystyle 4'}$ der Strecke ${\displaystyle {\overline {CO}},}$ zur Konstruktion des Zentriwinkels ${\displaystyle \mu }$ genutzt. Dieser entsteht nach der Konstruktion einer Parallelen zu ${\displaystyle {\overline {A_{1}O}}}$ ab ${\displaystyle 4'}$ bis zur Kurve der Quadratrix, dabei ergibt sich der Punkt ${\displaystyle D}$. Nun zieht man eine Halbgerade ab dem Winkelscheitel ${\displaystyle O}$ durch ${\displaystyle D}$ bis zum Umkreis. Somit ergibt sich auf dem Umkreis der zweite Eckpunkt ${\displaystyle A_{2}}$. Die Länge der Strecke ${\displaystyle {\overline {A_{1}A_{2}}}}$ ist die exakte Seitenlänge ${\displaystyle a}$ des regelmäßigen Neunzehneck.

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